三进制砝码——“道生一，一生二，二生三，三生万物”

 三进制砝码——“道生一，一生二，二生三，三生万物”

　　三进制是“逢三进一,退一还三”的进制。

　　三进制数码包括“0，1和2。”

　　三进制数位小数点前从右往左依次是1位，3位，9位，27位，81位，243位……

　　三进制数位小数点后从左往右依次是3分位，9分位，27分位，81分位……

　　写时注意应打括号，加下标的3，如（1201）3。读作一二零一，不能读成一千二百零一，这是因为它们对应于27位，9位，3位和1位，不是千百十个位！

　　一些常见的十进制数换三进制表

　　十进制 三进制

　　0 0

　　1 1

　　2 2

　　3 10

　　4 11

　　5 12

　　6 20

　　7 21

　　8 22

　　9 100

　　10 101

　　... ...

　　三进制在实际生活中较少用到，下面举一例：

　　三进制数是以下问题的答案：

　　允许在天平两端放置砝码，问N个砝码如何才能称出多的整克物体？

　　答案：1.一个砝码取1克，只能称1克。

　　2.二个砝码取1克，3克

　　右盘3，左盘1。称2克

　　右盘3。称3克

　　右盘1，3。称4克

　　3.三个砝码取1克，3克，9克

　　右盘9，左盘1，3。称5克

　　右盘9，左盘3。称6克

　　右盘9，1，左盘3。称7克

　　右盘9，左盘1。称8克

　　右盘9。称9克

　　右盘9，1。称10克

　　右盘9，3，左盘1。称11克

　　右盘9，3。称12克

　　右盘9，3，1。称13克

　　4.四个砝码取1克，3克，9克，27克。

　　............

　　其中的1，3，9，27，81等都是三进制数的数位。

一、数学原理：

用天平称量物体实际上是把物体放在一个托盘上，然后在两个托盘上分别加上适当的砝码，使得天平保持平衡，这时物体的质量就等于这两个托盘上砝码各自质量之和的差值。这样一来，世界上砝码组合问题就转变成纯数学的整数优拆分问题了：

如何将3280分解成一些较小的数（正整数，下同），取出一部分这些数（每一个数在一次运算中只能使用一次，即满足砝码的*性）进行或加或减的运算就能得到一个新的数。而且用这种方法得到的数集里必须包含了从1到3280的所有正整数。

（1）  首先让我们来看理论上能不能做到。假设这样的一组数存在，我们设为n个，从小到大分别为：A1,A2,…,An即：A1<A2<…<An（n为正整数）现在我们来看这一组数是如何组成一个新的数的。

K1A1+ K2A2+….+KnAn  （其中k1,k2,….,kn的取值只能是-1，0，+1这三个数，n是正整数）

根据要求，我们知道A1,A2,…,An这一组数必须满足下面这些条件：

A1+A2+…+An=3280           …………………①

K1A1+ K2A2+….+KnAn  当k1到kn取完所有的可能值时，至少能产生3280个数字 ，而这些数字里还必须有1至3280的所有正整数。  .................②

式子②所能产生的数字个数问题实际上又是排列组合问题，K1,K2,…,Kn每个都有三种取值的可能，所以所能组成的数字的总个数P=3^n。这些数字中有0，有正整数，也有负整数，由于对称性，正整数和负整数的个数是一样多的。所以实际产生的正整数的总个数应该是：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.

设T=3280，（如果此式能成立，则刚好能产生1到3280的所有正整数）

即：T=（P-1）/2=（3^n-1）/2.=3280。  

解之得：         n=8

这就从理论上证明了3280能分成8个较少的数字，并且从这8个数字中取出m（m<=8的正整数）个进行或加或减所生成的所有正整数刚好就是1至3280的所有自然正整数。

（2）  既然理论上是可以做到的，那我们就实际来做一做。

显然：    A1=1， 因为1是自然数的始祖，少了它肯定不行。

那么A2是多少呢？ A2与1可以组成的数字：A2-1，A2，A2+1，显然A2-1=2，解之得：  A2=3

有了1和3这两个数字我们就能产生数字：1，2，3，4

增加A3后，我们又能增加这些数：

A3-4，A3-3，A3-2，A3-1，A3，A3+1，A3+2 ，A3+3，A3+4

同理A3-4=5，解之得：A3=9

。。。。。。

同理我们可以得到A4=27，A5=81，A6=243，A7=729，X8=2187

现在让我们验证方程①是否成立，

A1+A2+…+An=1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

    方程①成立。

到此我们不但在理论上而且在实际上也找到了这8个数字了，它们分别是

1  3  9  27  81  243  729  2187

二、使用手册

砝码的使用问题归根结底是数学问题，所以我们在这里就说数学问题吧。也就是说如何用1  3  9  27  81  243  729  2187这8个原始数字表示1至3280的某一个具体的数字，先让我们来做几道简单的算术题：

1

1+3=4

1+3+9=13

1+3+9+27= 40

1+3+9+27+81=121

1+3+9+27+81+243=364

1+3+9+27+81+243+729=1093

1+3+9+27+81+243+729+2187=3280

我们把1至3280的所有正整数分在7个区间里，它们分别是：

Q1= [1  4]                       1∈Q1，3∈Q1

Q2=（4  13]                     9∈Q2

Q3=（13  40]                    27∈Q3

Q4=（40  121]                   81∈Q4

Q5=（121  364]                  243∈Q5

Q6=（364  1093]                 729∈Q6

Q7=（1093  3280]                2187∈Q7

其中“（”表示开区间，“]”表示闭区间。

.

显然,给我们任何一个数A（1<=A<=3280），我们先看A属于哪个区间，在哪个区间就取也同在那个区间的那个原始数字来做减数与A相减，比如数字A与原始数字B1在同一区间，则A可以表示成

        A=B1+K1   或A=B1-K1     ……. ①

现在再看K1在哪个区间，如果K1和原始数字B2在同一区间，则K1可表示成

        K1=B2+K2  或K1=B2-K2    ………②

依此类推，只到所有的数字都变成原始数字为止。即

        ……………………………………………….

        Kn-1=Bn+Kn  或Kn-1=Bn-Kn ……….（n）

（其中A，B，K，n都是正整数）

这时将式（n）代入式（n-1）, 式（n-1）代入式（n-2）……式②代入式①

这样全部用原始数字表示的数字A就完成了。下面用具体的数字为例加以说明。

例（1）用天平称取2008克物品。即A=2008

解：

2008∈Q7， 2187∈Q7，所以

           2008=2187-179

179∈Q5， 243∈Q5，并且179= 243-64

所以

          2008=2187-243+64

64∈Q4 ，  81∈Q4，并且64=81-17

所以

         2008=2187-243+81-17

17∈Q3， 27∈Q3，并且17=27-10

所以

         2008=2187-243+81-27+10

10∈Q2， 9∈Q2， 并且10=9+1

所以

2008=2187-243+81-27+9+1

又因为1是原始数字，所以到这里就可以OK了。

在使用天平称取2008克物品时，243克，27克的砝码和物品放在同一边托盘上，2187克，81克，9克，1克的砝码放在另一边托盘上即可，当天平平衡时，这时物品的质量就是2008克。

   例（2）用天平称取1997克物品，即A=1997

   解

      1997∈Q7， 2187∈Q7

       所以      1997=2187-190

      190∈Q5，243∈Q5，并且 190=243-53

    所以   1997=2187-243+53

       53∈Q4，81∈Q4，并且 53=81-28

    所以   1997=2187-243+81-28

       28∈Q3，27∈Q3，并且28=27+1

    所以   1997=2178-243+81-27-1

       8∈Q2，9∈Q2，并且 8=9-1

    所以   1997=2178-243+81-27-1

在使用天平称取1997克物品时，物品和质量为243克，27克，1克的砝码放在一个托盘上，2178克，81克的砝码放在另一托盘上，当天平平衡时，此时物品的质量即为1997克。